一、 研究背景與問(wèn)題提出

柔性可拉伸電子技術(shù)是當(dāng)前的前沿領(lǐng)域，其在生物醫(yī)療、可穿戴設(shè)備、軟體機(jī)器人等方面具有廣泛應(yīng)用前景。其中，“島-橋"結(jié)構(gòu)是一種關(guān)鍵設(shè)計(jì)策略：將功能強(qiáng)大的剛性電子元件（如芯片、傳感器）作為“島嶼"集成在柔軟的彈性基底上，并通過(guò)可大幅拉伸的蛇形“橋梁"進(jìn)行連接。然而，這種“剛?cè)岵?jì)"的結(jié)構(gòu)存在一個(gè)核心力學(xué)問(wèn)題——島效應(yīng)。即當(dāng)基底被拉伸時(shí)，由于剛性島與軟基底之間的巨大模量差異，變形無(wú)法均勻傳遞，導(dǎo)致在島嶼邊緣界面處產(chǎn)生嚴(yán)重的應(yīng)變集中。這種局部高應(yīng)變極易引起界面脫粘、材料撕裂等失效，嚴(yán)重制約了整個(gè)器件系統(tǒng)的拉伸性和可靠性。

盡管已有研究觀察到了這一現(xiàn)象，但對(duì)于其內(nèi)在機(jī)理，尤其是在等雙軸拉伸這一復(fù)雜載荷下的定量預(yù)測(cè)模型，仍缺乏系統(tǒng)的理論闡述。因此，建立一個(gè)能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)島效應(yīng)下的變形和應(yīng)變分布的理論模型，對(duì)于指導(dǎo)柔性電子器件的優(yōu)化設(shè)計(jì)至關(guān)重要。

二、 研究?jī)?nèi)容與方法

本研究聚焦于島效應(yīng)，旨在建立一個(gè)普適的標(biāo)度律，用于預(yù)測(cè)在等雙軸拉伸下，基底表面的位移和應(yīng)變分布。研究結(jié)合了三種方法：

1. 理論建模：從具有幾何對(duì)稱性的基本單元（方形基底+中心圓形剛性島）出發(fā)，建立理論分析框架。

2. 數(shù)值模擬：利用有限元分析進(jìn)行參數(shù)化研究和模型驗(yàn)證。

3. 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：通過(guò)等雙軸拉伸試驗(yàn)和數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)，定量測(cè)量變形場(chǎng)，與理論預(yù)測(cè)進(jìn)行對(duì)比。

三、 核心發(fā)現(xiàn)與理論模型

1. 關(guān)鍵控制參數(shù)：通過(guò)量綱分析和參數(shù)研究，論文明確指出，歸一化的島半徑與基底半長(zhǎng)之比（R/L） 是決定島效應(yīng)變形場(chǎng)的關(guān)鍵參數(shù)。當(dāng)島嶼模量遠(yuǎn)大于基底（E_i / E_s ≥ 10）時(shí)，施加的應(yīng)變大小、基底的本構(gòu)模型（線彈性或超彈性）對(duì)歸一化的變形模式影響甚微。

2. 位移與應(yīng)變標(biāo)度律：

基于位移場(chǎng)的對(duì)稱性和周期性特征，研究建立了以三角函數(shù)為核心的位移標(biāo)度律解析表達(dá)式。位移場(chǎng)由幾個(gè)特征參數(shù)（如平均徑向位移、擾動(dòng)幅值等）描述。

這些特征參數(shù)均可表示為 R/L 和 r/L （歸一化徑向坐標(biāo)）的函數(shù)，并通過(guò)擬合有限元數(shù)據(jù)，得到了具體的經(jīng)驗(yàn)公式。

通過(guò)對(duì)位移表達(dá)式進(jìn)行微分，進(jìn)一步推導(dǎo)出了徑向、環(huán)向及剪切應(yīng)變分量的完整解析解。

3. 軸對(duì)稱簡(jiǎn)化準(zhǔn)則：研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)島嶼較小時(shí)，變形場(chǎng)近似軸對(duì)稱（與角度θ無(wú)關(guān)）；當(dāng)島嶼較大時(shí)，角度的影響不可忽略。為此，論文提出了一個(gè)清晰的判據(jù)：當(dāng) R/L ≤ 0.2587 時(shí)，問(wèn)題可簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱問(wèn)題，標(biāo)度律方程可大幅簡(jiǎn)化，且與經(jīng)典彈性理論解高度吻合。

4. 模型適用范圍：該標(biāo)度律模型成立需滿足幾個(gè)條件：

基底可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力狀態(tài)（厚度遠(yuǎn)小于平面尺寸）。

島嶼可視為剛性（E_i / E_s ≥ 10）。

歸一化島半徑 R/L < 0.81 （臨界閾值）。

四、 模型驗(yàn)證與應(yīng)用拓展

1. 驗(yàn)證：

邊界條件滿足性：理論模型預(yù)測(cè)的位移場(chǎng)能很好地滿足島嶼界面無(wú)位移和基底邊界等位移的邊界條件。

與FEA和實(shí)驗(yàn)對(duì)比：針對(duì)不同R/L值（如0.3, 0.5），標(biāo)度律的預(yù)測(cè)結(jié)果與有限元模擬及DIC實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果均高度一致，成功捕捉到了島嶼邊緣的應(yīng)變集中現(xiàn)象。

2. 向周期性陣列的拓展：

對(duì)于實(shí)際器件中常見的周期性島嶼陣列，論文引入了面積覆蓋率（η） 的概念。

研究揭示，應(yīng)變集中程度主要由面積覆蓋率η決定。一個(gè)由多個(gè)小島嶼組成的陣列與一個(gè)具有相同η的單個(gè)大島嶼，所產(chǎn)生的宏觀應(yīng)變集中水平是等效的。這為設(shè)計(jì)師提供了靈活性：可以根據(jù)電子元件的實(shí)際尺寸來(lái)排布島嶼的大小和布局，從而在最小化應(yīng)力集中和表面利用率之間取得平衡。

五、 結(jié)論與意義

本研究成功發(fā)展了一個(gè)用于預(yù)測(cè)等雙軸拉伸下島效應(yīng)的理論模型。該模型的核心貢獻(xiàn)在于：

明確了R/L的核心主導(dǎo)作用，將復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題參數(shù)化。

提供了位移和應(yīng)變分布的顯式解析表達(dá)式（標(biāo)度律），具有強(qiáng)大的預(yù)測(cè)能力。

給出了實(shí)用的軸對(duì)稱簡(jiǎn)化判據(jù)，便于工程應(yīng)用。

將模型從單島推廣到島陣列，極大地增強(qiáng)了其實(shí)用價(jià)值。